问题标题：
【设F1,F2为双曲线4分之x平方-y平方＝1的两个焦点,点p在双曲线上且满足角f1pf2＝60度,求三角形f1pf2的...设F1,F2为双曲线4分之x平方-y平方＝1的两个焦点,点p在双曲线上且满足角f1pf2＝60度,求三角】
更新时间：2024-04-27 22:37:32
问题描述：
设F1,F2为双曲线4分之x平方-y平方＝1的两个焦点,点p在双曲线上且满足角f1pf2＝60度,求三角形f1pf2的...
设F1,F2为双曲线4分之x平方-y平方＝1的两个焦点,点p在双曲线上且满足角f1pf2＝60度,求三角形f1pf2的面积
李德全回答：
先推倒双曲线的焦点三角形F1PF2的面积公式
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
S(三角形F1PF2)=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)
所以这个题目中,
S(三角形F1PF2)=b^2cot(α/2)=cot(30)=√3
