问题标题：
（2010•济南二模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、E（图一），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图二）．（1）若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE．（
更新时间：2023-06-08 04:04:06
问题描述：
（2010•济南二模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、E（图一），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图二）．
（1）若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE．
（2）P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．
（3）P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P-BE-C的大小．
李天亮回答：
（1）证明：取BD的中点为M，连续FM，CM
∵F为AB的中点，∴MF∥AD，
由题知△BCD为等边三角形，∴CM⊥BD，又DE⊥BD
∴CM∥DE，∴面CFM∥面ADE，CF⊂面CMF，CF∥面ADE
（2）证明：由平面几何知识：BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC∴AD⊥平面BDEC，∴AD⊥BE，∴BE⊥面ACDBE∈面PBE，
∴平面ACD⊥平面PBE
（3）由（2）BE⊥面ACD，
设BE∩CD=Q，
由题意知BE⊥CD，BE⊥PQ，∴∠PQC为二面角P-BE-C的平面角
AD=CD，∠ACD=45°∴△ACD∽△CPQ，∠PQC=45°
∴二面角P-BE-C的大小为45°
