问题标题：
一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,确定它的三边长；若不存在,请说明理由．
更新时间：2024-04-24 20:58:39
问题描述：
一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,确定它的三边长；若不存在,请说明理由．
黄文恺回答：
解这个直角三角形的三条边分别是：a,b,根号(a^2+b^2)
由题意可以知道,1/2ab=a+b+根号(a^2+b^2).
即：根号(a^2+b^2)=1/2ab-(a+b),将其两边平方得,
a^2+b^2=1/4a^2b^2-ab(a+b)+a^2+b^2+2ab
1/4a^2b^2-ab(a+b)+2ab=0
ab(1/4ab-a-b+2)=0,因为ab≠0,
所以,1/4ab-a-b+2=0
ab-4a-4b+8=0
a(b-4)=4b-8
a=(4b-8)/(b-4)=(4b-16+8)/(b-4)=4+8/(b-4)
因为三角形的三边都是整数,而8有四个约数：1,2,4,8,所以,b的取值有四种情况.即：5,6,8,12.下面分别讨论：
1、b=5,a=12,此时,斜边是13,面积是1/2*5*12=30,周长是：5+12+13=30,符合要求.
2、b=6,a=8,斜边是10,面积与周长都是24.
3、b=8,a=6,这与上面2中的情况实质是一样的.
4、b=12,a=5,这与1中的情况又完全相同.
综上所述,符全要求的三角形有两种情况.
三边分别是：
5,12,13；
6,8,10.
